🧮 فصل پنجم: نمایش در فضای حالت (State–Space Representation)

🎯 هدف فصل:

روش فضای حالت (State-Space) برای تحلیل و طراحی سیستم‌های کنترل به‌صورت برداری و ماتریسی استفاده میشه.
این روش از محدودیت‌های تابع تبدیل (که فقط برای سیستم‌های SISO و خطی مفیده) عبور می‌کنه و برای سیستم‌های چندورودی و چندخروجی (MIMO) هم قابل استفاده‌ست ✅

۱. مفهوم حالت (State)

🔹 «حالت» یعنی مجموعه‌ای از متغیرهایی که در هر لحظه، وضعیت کامل سیستم رو مشخص می‌کنن.
مثلاً برای یک جسم متحرک:

• موقعیت $x(t)$

• سرعت x˙(t)\dot{x}(t)x˙(t)

این دو متغیر، حالت‌های سیستم هستن.

۲. فرم کلی معادلات حالت

نمایش فضای حالت از دو معادله اصلی تشکیل شده:

x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)x˙(t)=Ax(t)+Bu(t) $$y(t)=Cx(t)+Du(t)$$

که در آن:

📘 مثال ساده:

فرض کن سیستم زیر داریم:

d2ydt2+3dydt+2y=u(t)\frac{d^2y}{dt^2} + 3\frac{dy}{dt} + 2y = u(t)dt2d2y​+3dtdy​+2y=u(t)

می‌خوایم به فرم فضای حالت بنویسیم 👇

گام اول:
متغیرهای حالت رو تعریف کن:

x1=y,x2=y˙x_1 = y, \quad x_2 = \dot{y}x1​=y,x2​=y˙​

پس داریم:

x˙1=x2\dot{x}_1 = x_2x˙1​=x2​ x˙2=−2×1−3×2+u\dot{x}_2 = -2x_1 – 3x_2 + ux˙2​=−2x1​−3x2​+u

در نتیجه فرم ماتریسی:

[x˙1x˙2]=[01−2−3][x1x2]+[01]u\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\[6pt] \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\[4pt] -2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\[4pt] x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\[4pt] 1 \end{bmatrix} u[x˙1​x˙2​​]=[0−2​1−3​][x1​x2​​]+[01​]u

و خروجی:

y=[10][x1x2]+[0]uy = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\[4pt] x_2 \end{bmatrix} + [0]uy=[1​0​][x1​x2​​]+[0]u

یعنی:

A=[01−2−3],B=[01],C=[1  0],D=[0]A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix},\quad C = [1\; 0],\quad D = [0]A=[0−2​1−3​],B=[01​],C=[10],D=[0]

۳. پایداری در فضای حالت

پایداری با ماتریس A مشخص میشه.
اگر تمام مقادیر ویژه (Eigenvalues) ماتریس A بخش حقیقی منفی داشته باشن، سیستم پایدار است ✅

Avi=λiviA v_i = \lambda_i v_iAvi​=λi​vi​

اگر:

Re(λi)<0⇒سیستمپایدارRe(\lambda_i) < 0 \Rightarrow سیستم پایدارRe(λi​)<0⇒سیستمپایدار

۴. مزایای فضای حالت نسبت به تابع تبدیل

۵. کاربردهای نمایش فضای حالت

• طراحی کنترل‌کننده حالت (State Feedback)

• طراحی ناظر حالت (Observer)

• کنترل مدرن در رباتیک، پهپاد، و سیستم‌های چند متغیره

• پیاده‌سازی در نرم‌افزارهای کنترل مثل MATLAB / Simulink

🧭 فصل ششم: طراحی کنترل‌کننده حالت و ناظر حالت

(State Feedback & State Observer Design)

🎯 هدف فصل:

تا الان یاد گرفتی چطور سیستم رو مدل‌سازی کنی و تحلیلش کنی.
اینجا یاد می‌گیری چطور با استفاده از اطلاعات حالت‌ها (State Variables)،
رفتار سیستم رو دقیقاً به دلخواه خودت تنظیم کنی — مثلاً سریع‌ترش کنی، یا پایداریش رو بیشتر.

۱. کنترل‌کننده حالت (State Feedback Controller)

در روش فضای حالت، ورودی سیستم به‌صورت زیر تعریف میشه:

$$u(t)=-Kx(t)+r(t)$$

که در اون:

• $x(t)$: بردار حالت

• $K$: بردار بهره‌های فیدبک (State Feedback Gain)

• $r(t)$: ورودی مرجع (ورودی مطلوب)

هدف اینه که با انتخاب مناسب $K$،
ریشه‌های سیستم حلقه‌بسته رو به نقاط دلخواه در صفحه‌ی s منتقل کنیم.

⚙️ معادله حلقه‌بسته:

با کنترل‌کننده حالت داریم:

x˙(t)=(A−BK)x(t)+Br(t)\dot{x}(t) = (A – BK)x(t) + Br(t)x˙(t)=(A−BK)x(t)+Br(t)

پایداری و سرعت پاسخ سیستم به مقادیر ویژه‌ی ماتریس $A-BK$ بستگی داره.

💡 روش طراحی:

• انتخاب مکان قطب‌ها (Pole Placement)

• استفاده از الگوریتم Ackermann
  (در MATLAB هم تابع acker(A, B, p) برای همین کاره)

📘 مثال:

فرض کن سیستم زیر رو داریم:

x˙(t)=[01−2−3]x(t)+[01]u(t)\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} x(t) + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u(t)x˙(t)=[0−2​1−3​]x(t)+[01​]u(t)

می‌خوایم سیستم حلقه‌بسته با قطب‌های دلخواه $s=-2$ و $s=-5$ داشته باشه.

پس تابع مشخصه دلخواه:

(s+2)(s+5)=s2+7s+10(s + 2)(s + 5) = s^2 + 7s + 10(s+2)(s+5)=s2+7s+10

سیستم حلقه‌بسته باید این مشخصه رو داشته باشه.
با روش‌های ریاضی (یا تابع acker در MATLAB) مقدار $K=[85]$ به‌دست میاد ✅
در نتیجه:

u=−Kx=−8×1−5x2u = -Kx = -8x_1 – 5x_2u=−Kx=−8x1​−5x2​

و سیستم پایدارتر و سریع‌تر میشه.

۲. ناظر حالت (State Observer)

گاهی اوقات همه‌ی متغیرهای حالت رو نمی‌تونیم اندازه بگیریم
(مثلاً سرعت یا جریان الکتریکی مستقیماً قابل اندازه‌گیری نیست).
در این حالت از ناظر (Observer) استفاده می‌کنیم تا اون حالت‌ها رو تخمین بزنه.

🧮 ساختار ناظر:

x^˙=Ax^+Bu+L(y−y^)\dot{\hat{x}} = A\hat{x} + Bu + L(y – \hat{y})x^˙=Ax^+Bu+L(y−y^​) y^=Cx^\hat{y} = C\hat{x}y^​=Cx^

که در آن:

• x^\hat{x}x^: حالت‌های تخمینی (تقریب حالت واقعی)

• $L$: ماتریس بهره ناظر (Observer Gain)

• y−y^y – \hat{y}y−y^​: خطای اندازه‌گیری

🎯 هدف کنترل خطی:

انتخاب $L$ طوری که خطای تخمین به صفر میل کنه:

e=x−x^⇒e˙=(A−LC)ee = x – \hat{x} \Rightarrow \dot{e} = (A – LC)ee=x−x^⇒e˙=(A−LC)e

اگر مقادیر ویژه‌ی $A-LC$ در نیم‌صفحه چپ باشن،
ناظر پایدار و دقیق خواهد بود ✅

🔹 ناظر مرتبه کامل (Full-Order Observer) کنترل خطی

همه‌ی حالت‌ها رو تخمین می‌زنه.
در عمل معمولاً از ناظر لونبرگر (Luenberger Observer) استفاده میشه.

🔹 ناظر مرتبه کمتر (Reduced-Order Observer) کنترل خطی

فقط بخشی از حالت‌ها رو تخمین می‌زنه (برای سیستم‌های بزرگ‌تر).

۳. ترکیب ناظر و کنترل‌کننده کنترل خطی

در سیستم‌های واقعی معمولاً ترکیب این دو استفاده میشه:

1. کنترل‌کننده حالت کنترل خطی:
   برای بهبود عملکرد و پایداری سیستم

   u=−Kx^+ru = -K\hat{x} + ru=−Kx^+r

2. ناظر:
   برای تخمین حالت‌های واقعی

   x^˙=Ax^+Bu+L(y−y^)\dot{\hat{x}} = A\hat{x} + Bu + L(y – \hat{y})x^˙=Ax^+Bu+L(y−y^​)

به این ترکیب می‌گن سیستم کنترل حلقه‌بسته با بازخورد حالت تخمینی (Observer-based State Feedback)

۴. کاربردها در دنیای واقعی

🎯 جمع‌بندی نهایی درس کنترل خطی: